Eva Miranda will speak at the IMTECH Colloquium on Wednesday May 4 at 12pm at Sala d'actes de la Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)
Eva Miranda is a Full Professor at UPC distinguished with two consecutive ICREA Academia Awards (2016, 2021) at (UPC), member of CRM and IMTECH. She is the director of the Laboratory of Geometry and Dynamical Systems and the group leader of GEOMVAP (Geometry of Varieties and Applications).
Her research deals with several aspects of Differential Geometry, Mathematical Physics and Dynamical Systems such as Symplectic and Poisson Geometry, Hamiltonian Dynamics, Group actions and Geometric Quantization.
In this talk she will talk about:
Indecibilitat, complexitat i caos: Dels conjunts de Cantor a les màquines de Turing i més enllà
VIDEO OF TALK AVAILABLE HERE
Resum:
La noció clàssica de caos es caracteritza per la sensibilitat a les condicions inicials. Un petit canvi en aquestes condicions fa que el sistema evolucioni de manera molt diferent. Com va dir l'Edward Lorenz el principi de la teoria del caos es pot resumir com:
"Caos: El present determina el futur però el present aproximat no determina aproximadament el futur." En particular, és impossible de predir de forma exacta el temps perquè no es pot mesurar el seu estat inicial amb suficient precisió. La més petita fluctuació com el batec de les ales d'una papallona, pot significar la diferència entre una sequera i un diluvi a l'altra punta del planeta. Aquest fenomen descrit pel propi Lorenz es denomina "efecte papallona".
El Cris Moore [4] va trobar una nova forma de caos que no deriva la seva impredictibilitat de l'efecte papallona. Amb aquesta noció de "caos complex" el Moore va demostrar que determinats sistemes caòtics són altament complexos. Moore associa una màquina de Turing al seu sistema dinàmic utilitzant conjunts de Cantor. Com a conseqüència de l'indecibilitat del problema de la parada (Turing), les trajectòries del sistema són indecidibles.
Les construccions de Moore són 2-dimensionals i inicialment no estaven associats a cap sistema "físic".
El propi Moore va anar més enllà i va preguntar si la hidrodinàmica era capaç de fer càlculs o si es podia construir una computadora d'aigua (o fluid computer). L'any 2017 el Terence Tao va reprendre aquesta qüestió motivat per una idea de construcció d'un contraexemple a la conjectura de Navier-Stokes a la llista Clay. La seva idea [5,6] requeria utilitzar unes condicions inicials de tipus Turing complet capaces de simular qualsevol màquina de Turing.
En aquest col.loqui explorarem aquestes idees i explicarem com construir una computadora d'aigua [1]. En particular trobarem trajectòries de fluids amb camins indecidibles.
La nostra construcció usa geometria de contacte per associar un camp de Reeb a la secció de Poincaré d'una aplicació del disc que esten la construcció de Moore. D'aquesta manera s'obté una varietat de contacte de dimensió 3 on el flux del camp de Reeb és Turing complet.
Utilitzant un mirall [3] que associa un camp de Beltrami a un camp de Reeb aquesta construcció dona camps d'Euler en dimensió 3 que tenen trajectòries indecidibles.
Aquesta construcció d'una "computadora d'aigua" fa realitat el somni de ciència ficció de Stanislaw Lem a la
novel·la Solaris. Però serveix com màquina de prova per testar contraexemples de la conjectura de Navier-Stokes com va somiar el Terence Tao?
Referències:
[1] R. Cardona, E. Miranda, D. Peralta-Salas, F.Presas, Constructing Turing complete Euler flows in dimension 3. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 118 (2021), no. 19, Paper No. e2026818118, 9 pp.
[2] R. Cardona, E.
Miranda, D. Peralta-Salas, Computability and Beltrami fields in Euclidean space,
arXiv:2111.03559[3] J. Etnyre, R. Ghrist, Contact topology and hydrodynamics: I. Beltrami fields and the Seifert conjecture. Nonlinearity 13, 441 (2000).
[4] C. Moore, Generalized shifts: Unpredictability and undecidability in dynamical systems. Nonlinearity 4, 199 (1991).
[5] T. Tao, Searching for singularities in the Navier–Stokes equations. Nat. Rev. Phys. 1, 418–419 (2019).
[6] T. Tao, Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier–Stokes equation. J. Am. Math. Soc. 29, 601–674 (2016).
Share: